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希尔伯特23个问题还有几个未解决

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如题 , 我从小的学号好几年重新排都是23,长大了工作了,订的机票好些时候也都是23,我公司的电脑的机器号也是23。。。23这个数字好么 , 20世纪的1900年德国著名数学家希尔伯特在8月6日做的数学报告提出的23个数学问题是什么? , 只听说过宇宙未解之谜等其他的,还从来没有听说过这个呢,不知道有没有呢 ...

希尔伯特的23个数学问题分别的提出人和问题是什么: 希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。 (1)康托的连续统基数问题。 (2)算术公理系统的无矛盾性。 (3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 (4)两点间以直线为距离最短线问题。 (5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。 (6)对数学起重要作用的物理学的公理化。 (7)某些数的超越性的证明。 (8)素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。 (9)一般互反律在任意数域中的证明。 (10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解? (11)一般代数数域内的二次型论。 (12)类域的构成问题。 (13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 (14)某些完备函数系的有限的证明。 (15)建立代数几何学的基础。 (16)代数曲线和曲面的拓扑研究。 (17)半正定形式的平方和表示。 (18)用全等多面体构造空间。 (19)正则变分问题的解是否总是解析函数? (20)研究一般边值问题。 (21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。 (22)用自守函数将解析函数单值化。 (23)发展变分学方法的研究。

希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,: 在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。
  (1)康托的连续统基数问题。
  1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。
  (2)算术公理系统的无矛盾性。
  欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
  (3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
  问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德思(M.Dehn)1900年已解决。
  (4)两点间以直线为距离最短线问题。
  此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。
  (5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。
  这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
  (6)对数学起重要作用的物理学的公理化。
  1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。
  (7)某些数的超越性的证明。
  需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如,2√2和eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。
  (8)素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
  素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。
  (9)一般互反律在任意数域中的证明。
  1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
  (10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?
  求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。
  (11)一般代数数域内的二次型论。
  德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。
  (12)类域的构成问题。
  即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。
  (13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
  七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在〔0,1〕上连续的实函数f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数,ξij的选取可与f完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。
  (14)某些完备函数系的有限的证明。
  即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…,m),R为K〔X1,…,Xm]上的有理函数F(X1,…,Xm)构成的环,并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]试问R是否可由有限个元素F1,…,FN的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
  (15)建立代数几何学的基础。
  荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,魏依1950年已解决。
  注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。
  一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
  (16)代数曲线和曲面的拓扑研究。
  此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。
  (17)半正定形式的平方和表示。
  实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0,确定f是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。
  (18)用全等多面体构造空间。
  德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。
  (19)正则变分问题的解是否总是解析函数?
  德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。
  (20)研究一般边值问题。
  此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
  (21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
  此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。
  (22)用自守函数将解析函数单值化。
  此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
  (23)发展变分学方法的研究。

资料来源:http://zhidao.baidu.com/link?url=rXmglwqbxFzgrRu0lOo8gBu6FijGHcbca16wb-tdQ8NBZC_XURthwNqtV7bpJ0ge-BFXxdKlzHyQEBWFzCSXPa

希尔伯特提出“23个问题”的背景是什么?:

158年过去了,数学家们只是验证了3300万以内的偶数,“1+1”都是成立的,而没有人能证明“1+1”是否成立。此时数学界觉得有点“脸上无光”了。在这个背景下,德国大数学家希尔伯特(1862~1943)要“大声疾呼”了。

1900年,第2届国际数学家大会在巴黎召开,希尔伯特提出了著名的“23个问题”。他把“偶素数歌德巴赫猜想”和另外两个相关的问题概括在一起,列为其中第8个问题。

由于希尔伯特的“大会动员”,“脸上无光”的数学家们加紧了研究的脚步。

为什么我的一生跟23这个数字这么有缘,有没有什么说道: 23代表了什么?23如今已经是一个普通球员不敢穿的球衣了,因为它代表了篮球最至高无上的荣誉。 23号象征的就是乔丹!但科比不相信神话,还是那么不在意,作我自己!
23代表了什么?据说,当年恺撒被刺杀的时候中了23刀。元老院的几个元老都像刀客一样,肆意的发泄着自己的不满。最后,恺撒的养子布鲁图斯补上最关键的一刀送走了他。又据说,事后人们发现这23刀中有3刀是致命的,在布鲁图斯之前有两刀已经能要他的命了,只是时间的关系还没发作而已。恺撒身上的23刀有多少刀是多余的我们不知道,但是更多的是失势的元老们在发泄仇恨。等他们杀了恺撒,他们才发现,没有恺撒,这个帝国不再完整和和平,没有人像恺撒一样恢复秩序,没有人像恺撒一样为整个罗马帝国的利益而战,没有人能保证公民的财产。有恺撒的时候,他们得忍受独裁;没有了恺撒,他们的日子不再安宁。恺撒说过,怎么会是你,布鲁图斯?!
23代表了什么?1900年,希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23个最重要的数学问题,这就是著名的希尔伯特的23个问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。

它是你的幸运数字,好好珍惜!

对于希尔伯特23个数学难题,还没解决的有多少?有哪些?: 1 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法(forcing)证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说,连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
2 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
3 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
4 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
5 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
6 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化,有很多人质疑。
7 若b是无理数、a是非0、1代数数,那么a^b是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
8 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
9 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治,1927年德国的埃米尔·阿廷(E.Artin)各有部份解答。
10 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明:在一般情况答案是否定的。
11 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决,实数的部分则由希格尔于1930年解决。
12 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
13 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
14 证明一些函数完全系统(Completesystemoffunctions)之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
15 舒伯特列举微积分(Schubert'senumerativecalculus)之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
16 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
17 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷(EmilArtin)已解决实封闭域。
18 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
19 拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析(Analytic) 已解决。1904年由伯恩斯坦(SergeBernstein)解决。
20 所有有界限条件的变量问题(Variationalproblem)是否都有解 已解决
21 证明有线性微分方程有给定的单值群(monodromygroup) 已解决
22 以自守函数(Automorphicfunctions)一致化可解析关系 已解决。 1904年由科比和庞加莱取得解决。
23 变分法的长远发展 已解决

23个数学问题/: 希尔伯特23个问题及解决情况
1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中,首先他提出许多重要的思想:
正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新观点,达到更为广阔的自由的境界。

希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用,他指出:“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念,那就必须回顾一下当今科学提出的,希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出:“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

他阐述了重大问题所具有的特点,好的问题应具有以下三个特征:

清晰性和易懂性;
虽困难但又给人以希望;
意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题,即著名的“希尔伯特23个问题”。

编号 问题 推动发展的领域 解决的情况
1 连续统假设 公理化集合论 1963年,Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性 数学基础 希尔伯特证明算术公理的相容性的设想,后来发展为系统的Hilbert计划(“元数学”或“证明论”)但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等 几何基础 这问题很快(1900)即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提得过于一般。希尔伯特之后,许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何,在研究第四问题上取得很大进展,但问题并未完全解决。
5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念 拓扑群论 经过漫长的努力,这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决,答案是肯定的。
6 物理公理的数学处理 数学物理 在量子力学、热力学等领域,公理化方法已获得很大成功,但一般地说,公理化的物理意味着什么,仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
8 素数问题 数论 一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。
9 任意数域中最一般的互反律之证明 类域论 已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.
10 Diophantius方程可解性的判别 不定分析 1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。
12 Abel域上 kroneker定理推广到任意代数有理域。 复乘法理论 尚未解决。
13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。 方程论与实函数论 连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决,如要求是解析函数,则问题仍未解决。
14 证明某类完全函数系的有限性 代数不变式理论 1958年永田雅宜给出了否定解决。
15 Schubert记数演算的严格基础 代数几何学 由于许多数学家的努力,Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能,但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础,已由B.L.Vander Waerden(1938-40)与 A.Weil(1950)建立。
16 代数曲线与曲面的拓扑 曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论 问题的前半部分,近年来不断有重要结果。
17 正定形式的平方表示式 域(实域)论 已由Artin 于1926年解决。
18 由全等多面体构造空间 结晶体群理论 部分解决。
19 正则变分问题的解是否一定解析 椭圆型偏微分方程理论 这个问题在某种意义上已获解决。
20 一般边值问题 椭圆型偏微分方程理论 偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性 线性常微分方程大范围理论 已由Hilbert本人(1905)年和 H.Rohrl(德,1957)解决。
22 解析关系的单值化 Riemann 曲面体 一个变数的情形已由 P.Koebe (德,1907)解决。
23 变分法的进一步发展 变分法 Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。

百年前的数学家大会与希尔伯特的问题
熊卫民

21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了,它将给本世纪的数学发展带来些什么?能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗? 一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册,完全是因为一个人,因为他的一个报告——希尔伯特(David Hilbert)和他的《数学问题》。

1900年,希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中,许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔(H. Weyl)所说:“希尔伯特吹响了他的魔笛,成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪,他所提出的问题都那么清晰、那么易懂,其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试,而且解决其中任意一个,或者在任意一个问题上有重大突破,立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题,包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展,尤其是二十世纪上半叶数学的发展时,通常都以希尔伯特所提的问题为航标。

其实这些问题绝大部分业已存在,并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面,用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题,并指出了其中许多问题的解决方向。

数学领域中的问题是极多的,究竟哪些更重要、更基本?做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此目光如炬?数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生(和李文林先生合译)认为,这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大!数学家可分为两类,一类擅长解决数学中的难题,另一类擅长对现有状况做出理论总结,两大类中又均可细分为一流、二流、三流。希尔伯特两者兼长,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字,对数学发展的大背景了如指掌,对所提及的许多问题都有深入的研究,是数学领域中的“王”。

为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题,而不像常人一样宣讲自己的某项成果?袁向东告诉记者,这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关,庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座,均为领袖级人物,当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法,那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。

庞加莱是法国人,希尔伯特是德国人,法、德两国有世仇,所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。虽然他们两人非常尊重对方,这一点在他们身上体现得不明显,但他们的学生和老师常常这样看。

希尔伯特的老师克莱茵(Felix Klein)就是一个民族感非常强的人,他非常强调德意志数学的发展,想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形,圆心为巴黎;现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心,使数学世界变成有两个圆心的椭圆。

在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下,克莱茵实现了自己的目标——1900年时,希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名,而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。事实上,他们在德国号称“无敌三教授”。

从一个例子可以想见他们的魅力。

某天,在谈及拓扑学著名定理——四色定理时,闵可夫斯基突然灵机一动,于是对满堂的学生说:“这条定理还没有得到证明,因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。现在由我来证明它。”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。这堂课结束后,他还没有证完。下堂课他继续证,这样一直持续了几周。最后,在一个阴雨的早晨,他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。“老天也被我的傲慢激怒了,”他说,“我的证明也是不完全的。”(该定理直到1994年才用计算机证明出来。)

1912年,庞加莱逝世。世界数学的中心进一步向哥廷根偏移,数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。此时,哥廷根学派的名声如日中天,在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖,到哥廷根去!”

一个世纪过去了,希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决,其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他,为什么他不去解决自己所提的问题,譬如说费马大定理?

费马是在一页书的空白处写下该定理的,他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法,但可惜的是空白区不够大,写不下了。希尔伯特的回答同样幽默:“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者,希尔伯特时任该基金会的主席,每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学,所以对他而言,费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。(费马大定律直到1997年才被解决。)

在列出23个问题之前,希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物,已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。他的其它贡献,譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等,都对20世纪数学的发展有着深远的影响。

1 21世纪七大数学难题
21世纪七大数学难题
最近美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题

在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。

“千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

“千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七: 贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

世界上有没有数学未解之谜: 一 数学基础问题。
1、 数是什么?
2、 四则运算是什么?
3、 加法和乘法为什么符合交换律,结合律,分配律?
4、 几何图形是什么?

二 几个未解的题。
1、求 (1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +(1/n)^3=?
更一般地:
当k为奇数时 求
(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +(1/n)^k=?
背景:
欧拉求出:
(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6

并且当k为偶数时的表达式。
2、e+π的超越性
背景
此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。
已经证明了e^π的超越性,却至今未有人证明e+π的超越性。

3、素数问题。
证明:
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …

(s属于复数域)
所定义的函数ζ(s)的零点,除负整实数外,全都具有实部1/2。

背景:
此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。
美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。
希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想(任一偶数可以分解为两素数之和)和孪生素数猜想(存在无穷多相差为2的素数)。

引申的问题是:素数的表达公式?素数的本质是什么?

4、 存在奇完全数吗?

背景:
所谓完全数,就是等于其因子的和的数。
前三个完全数是:
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32个完全数全部是偶数。
1973年得到的结论是如果n为奇完全数,则:
n>10^50

5、 除了8=2^3,9=3^2外,再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗?

背景:
这是卡塔兰猜想(1842)。
1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。
1976年,荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。
但是,由于这个数太大,有500多位,已超出计算机的计算范围。
所以,这个猜想几乎是正确的,但是至今无人能够证实。

6、 任给一个正整数n,如果n为偶数,就将它变为n/2,如果除后变为奇数,则将它乘3加1(即3n+1)。不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1吗?

背景:
这角古猜想(1930)。
人们通过大量的验算,从来没有发现反例,但没有人能证明。

三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。
1、问题1连续统假设。
全体正整数(被称为可数集)的基数 和实数集合(被称为连续统)的基数c之间没有其它基数。
背景:1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统,即策莫罗-佛朗克尔公理系统里,不可证伪。
1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统,不能证明此假设是对的。
所以,至今未有人知道,此假设到底是对还是错。
2、问题2 算术公理相容性。
背景:哥德尔证明了算术系统的不完备,使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。
3、 问题7 某些数的无理性和超越性。
见上面 二 的 2
5、 问题 8 素数问题。
见上面 二 的 3
6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。
背景:德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
背景:此问题只有些零散的结果,离彻底解决还十分遥远。
8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。
背景:1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。
9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。
背景: 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。
10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。
要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。
11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。
无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题,现在仍未解决。
12、 问题 20 一般边值问题。
偏微分方程的边值问题,正在蓬勃发展。
13、 问题 23 变分法的进一步发展。

四 千禧七大难题
2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。

1、 黎曼猜想。
见 二 的 3
透过此猜想,数学家认为可以解决素数分布之谜。
这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数
学家们认为除了能解开质数分布之谜外,对於解析数论、函数理论、
椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。

2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论,杨振宁由
数学开始,提出一个具有规范性的理论架构,后来逐渐发展成为量子
物理之重要理论,也使得他成为近代物理奠基的重要人物。

杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子,而他们
碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果
是,这个粒子具有电荷但没有质量。然而,困难的是如果这一有电荷
的粒子是没有质量的,那麼为什麼没有任何实验证据呢?而如果假定
该粒子有质量,规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质
量,因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。

3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大,计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。

P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已
知尺寸为n,如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下
就可以或不行时,我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个
算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素,例如第六感参与进来
的算法就叫做「非决定性算法」,这类的问题就是「NP 问题」,NP 是
Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。

由定义来说,P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有
些不属於P 问题等级的东西呢?或者NP 问题终究也成为P 问题?这
就是相当著名的PNP 问题。

4、.纳维尔–史托克方程(Navier–Stokes Equations)
因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正,在修正的过程中产生了
新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学
推导,将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。

自从西元1943 年法国数学家勒雷(Leray)证明了纳维尔–史托
克方程的全时间弱解(global weak solution)之后,人们一直想知道
的是此解是否唯一?得到的结果是:如果事先假设纳维尔–史托克方
程的解是强解(strong solution),则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大,有没有可能弱解会等於强解?换句话说,是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解?再者就是证
明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。

解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献,特别是乱
流(turbulence)都会有决定性的影响,另外纳维尔–史托克方程与奥
地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系,研究纳维
尔–史托克(尤拉)方程与波兹曼方程(Boltzmann Equations)两
者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit),由此可见纳
维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。

5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说:单连通的
三维闭流形与三维球面同胚。
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非
常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之
后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。
庞加莱(图4)臆测提出不久,数学们自然的将
之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测:单连通的



n(n4)维闭流形,如果与n

≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。

经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔(Smale)以
巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的


广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之
后,另一个美国数学家佛瑞曼(Freedman)则证明了四维的庞加莱臆
测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真
正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜。

=

一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼(Perelman)於
麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许
多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首
次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同
日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测

被证明了,这次是真的!」[14]。

数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现
斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。

6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测(Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture)
一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时
就会遇见这种曲线。自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、

几何、密码学等有著密切的关系。例如:怀尔斯(Wiles)证明费马
最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系-即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与
椭圆曲线有关。

60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些
多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解,然而要如何计算无限
呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念
并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷
多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数,所以这个问题与
黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集,他
们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结
果断言:椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的

Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1)

;当s1= 0

7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之
上同调类的有理组合。」
最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可
能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象
参考资料:《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》

希尔伯特提出的新世纪所面临的23个问题是?: Hilbert 23个数学问题
在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。
[01]康托的连续统基数问题。
1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科恩(P•Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。
[02]算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G•Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
[03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是:存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德恩(M•Dehn)1900年已解决。
[04]两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。
[05]拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。
这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
[06]对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。
[07]某些数的超越性的证明。
需证:如果 是代数数, 是无理数的代数数,那么 一定是超越数或至少是无理数(例如, 和 )。苏联的盖尔芳德(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。
[08]素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。
[09]一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E•Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
[10]能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?
求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。
[11]一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家魏依(A•Weil)取得了新进展。
[12]类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。
[13]一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程 的根依赖于方程中的3个参数 、 、 ; 。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在 上连续的实函数 可写成形式 ,这里 和 为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明 可写成形式 ,这里 和 为连续实函数, 的选取可与 完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。
[14]某些完备函数系的有限的证明。
即域 上的以 为自变量的多项式 , 为 上的有理函数 构成的环,并且 试问 是否可由有限个元素 的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
[15]建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,魏依1950年已解决。
注:舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。
一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
[16]代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备 的极限环的最多个数 和相对位置,其中 、 是 、 的 次多项式。对 (即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到 ;1952年鲍廷得到 ;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布 ,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了 不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了 的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是 结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第[16]问题提供了新的途径。
[17]半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数 对任意数组 都恒大于或等于0,确定 是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。
[18]用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。
[19]正则变分问题的解是否总是解析函数?
德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。
[20]研究一般边值问题。
此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
[21]具给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H•Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。
[22]用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯(P•Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
[23]发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

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